[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Æ
Wieder werden nur solche µ betrachtet, die linear in den Beobachtungen sind:
Æ
n
µ = a0 + aiXi
Æ
i=1
Das folgende mathematische Modell ist das sogenannte einfache Credibility-Modell:
¸ hat die Dichte À(¸). Gegeben ¸, sind X1, . . . , Xn stochastisch unabhängig und identisch
verteilt mit Verteilung P¸ und Erwartungswert µ(¸).
In diesem Modell berechnet man Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte folgenderma-
ßen:
23
nicht zu verwechseln mit dem Strukturvertrieb!
24
Wie das Ziehen aus einer Urne.
25
E¸(µ - µ(¸))2 ist eine Verlustfunktion. Hohe Werte bedeuten daher schlechte Qualität, weswegen das
Æ
Minimum angestrebt wird.
86 KAPITEL 6. STATISTISCHE VERFAHREN
n
" P{X1 " A1, . . . , Xn " An, ¸ " B} = P¸(Ai)À(¸) d¸
B
i=1
" EXi = µ(¸)À(¸) d¸ =: m
" X1, . . . , Xn sind nicht stochastisch unabhängig : Es gilt für i = j
Kov(Xi, Xj) = E(Xi - m)Xj
= E¸ [(Xi - µ(¸))Xj] À(¸) d¸ + (µ(¸) - m)µ(¸)À(¸) d¸
= (µ(¸) - m)2À(¸) d¸ =: Ä2.
Ä2 ist die Varianz der Zufallsvariable µ(¸).
6.3.1 Credibility-Schätzer
Der lineare Schätzer µ für µ(¸), der den Fehler EE¸(µ - µ(¸))2 minimiert, ist
Æ Æ
1
µ = zx + (1 - z)m, x = Xi,
Æ ¯ ¯
n
i
mit m = Eµ(¸), Ä2 = Var(µ(¸)), Ã2 = Var(P¸)À(¸) d¸ und
nÄ2
z = .
nÄ2 + Ã2
Es gilt 0
Æ
und individueller Beobachtung x. Ã2 ist ein Maß für die Fluktuation der Werte in den Ver-
¯
trägen oder Gruppen. Ä2 ist ein Maß für die Fluktuation der mittleren Werte µ(¸) zwischen
den Verträgen (Gruppen). Ist Ã2 klein, so ist z nahe bei 1 (das heißt es liegt viel Gewicht auf
dem individuellen Wert x), ist Ã2 groß, so liegt viel Gewicht auf m. Ist n groß, dann liegt
¯
viel Gewicht auf x.
¯
Credibility-Schätzer sind von besonderer Bedeutung für kleines n, wenn die Datenmenge für
eine statistische Analyse zu klein ist. Dies ist der in der Praxis auftretende Fall! Durch Kom-
bination mit dem globalen Wert m wird die statistische Situation verbessert, die Datenmenge
vergrößert .
Für Anwendungen müssen die Parameter m, Ã2, Ä2 aus den Daten bestimmt werden (À ist
nicht zu ermitteln!). Dazu benötigt man Daten aus anderen Verträgen:
Wie üblich bezeichnen wir mit Xij die Schadensumme aus dem Jahr i bezüglich des Vertrages
j. Mit Xij werden die Parameter folgendermaßen festgelegt:
1 1
m = Xij
Æ
k n
i,j
6.3. CREDIBILITY-THEORIE UND ERFAHRUNGSTARIFIERUNG 87
k n
1 1
Ã2 = (Xij - X" j)2
Æ
k n - 1
j=1 i=1
k
1 1
Ä2 = (X" j - m)2 - Ã2,
Æ Æ Æ
k - 1 n
j=1
1
wobei X" j := Xij bedeutet.
n
1
Der Schätzer Ä2 braucht den Term -nÃ2 für kleines n, um im zugehörigen Modell erwar-
Æ Æ
tungstreu zu sein und damit das Richtige zu schätzen.
Beispiel 6.8
( Hachemeister-Daten) durschnittliche Schadenhöhen für die Insassenversicherung in 5 Staa-
ten der USA, vierteljährlich erfaßt26. Es ergaben sich die Werte Xij:
i j=1 j=2 j=3 j=4 j=5
1 1738 1364 1759 1223 1456
2 1642 1408 1685 1146 1499
3 1794 1597 1479 1010 1609
4 2051 1444 1763 1257 1741
5 2079 1342 1674 1426 1482
6 2234 1675 2103 1532 1572
7 2032 1470 1502 1953 1606
8 2035 1448 1622 1123 1735
9 2115 1464 1828 1343 1607
10 2262 1831 2155 1243 1573
11 2267 1612 2233 1762 1613
12 2517 1471 2059 1306 1690
1
Xij 2064 1511 1822 1360 1599
i
12
µ 2044 1519 1814 1376 1602
Æ
Der Credibility-Faktor z ist unabhängig von j ungefähr z H" 0, 95 und die übrigen gerundeten
Werte lauten:
m = 1671
Æ
Æ
¸2 = 46040
Ä2 = 72310
Æ
Bem.: Zahlreiche Verfeinerungen des Modells sind inzwischen in Anwendung27:
" Bühlmann-Straub,
26
Beobachtungszeitraum: Juli 1970 Juni 1973
27
Literatur: [10]
88 KAPITEL 6. STATISTISCHE VERFAHREN
" Hachemeister,
" hierarchische Credibility.
Die Daten lassen vermuten, daß die Varianzen in den Gruppen unterschiedlich sind, was im
Bühlmann-Straub-Modell berücksichtigt wird.
Dies ist nur eine kurze Einführung in das Thema, ausführlicher und mit Variationen wird es
in Risikotheorie 2 dargestellt.
Anhang A
Übungsaufgaben und Lösungen
A.1 Aufgaben
Aufgabe A.1
Geben Sie für das Risiko Gesamtschaden eines Jahres einer Police in der Kfz-Haftpflicht-
Versicherung Einflußfaktoren und Gründe für deren Einfluß sowie Methoden zur Bestim-
mung der Faktorausprägungen an.
Aufgabe A.2
Geben Sie jeweils ein Beispiel aus der Versicherungswirtschaft, in dem die folgenden Risiken
auftreten
" Großschadenrisiko
" Kumulrisiko
" Irrtumsrisiko
" Änderungsrisiko
Aufgabe A.3
Geben Sie zwei Beispiele an, die belegen, daß die Entschädigungssumme zweier Versiche-
rungsverträge nicht durch stochastisch unabhängig Zufallsvariable modelliert werden kann.
Aufgabe A.4
Wie beurteilen Sie das Zufallsrisiko in den Zweigen
" Lebensversicherung,
" Hagelversicherung,
89
90 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN UND LÖSUNGEN
" Industrie-Feuerversicherung,
" Kraftfahrzeug-Kaskoversicherung,
" Rückversicherung ?
Geben Sie jeweils eine Begründung.
Aufgabe A.5
Berechnen Sie
" Erwartungswert
" Varianz
" Schiefe
" charakteristische Funktion
" erzeugende Funktion
der Verteilungen
" b(n, p)
" NB(1, p)
.
Aufgabe A.6
Berechnen Sie folgende Faltungen:
" U(0, 1) " U(0, 1)
" Exp(¸1) " Exp(¸2), ¸1 = ¸2
" À(») " U(0, 1)
Aufgabe A.7
Berechnen Sie Varianz und Schiefe von
" Exp(¸)
" Par(a)
A.1. AUFGABEN 91
" LN(µ, Ã2)
Aufgabe A.8
Berechnen Sie mit Hilfe von Kumulanten Varianz und Schiefe von “(k, ¸).
Aufgabe A.9
Seien
1
P{X1 = 1000} = 1 - P{X1 = 0} =
1000
1
P{X2 = 100} = 1 - P{X2 = 0} =
100
Welches Risiko X1 oder X2 ist gefährlicher?
Aufgabe A.10
Der Jahresgesamtschaden eines Versicherungsvertrages i sei normalverteilt mit Mittelwert µi
2
und Varianz Ãi . Alle Verträge seien stochastisch unabhängig . Wie können Sie sicherstellen,
daß Ihr Versicherungsbestand einen Jahresgesamtschaden S mit einer Wahrscheinlichkeit
P{S > s0 + À} d" 0, 001
hat? Hierbei sei s0 Ihr Eigenkapital und die Bestandsprämie À habe die Form
2
À = µi + Ãi .
i
Welche Verträge sind gut ? Welche Portefeuille-Zusammensetzung ist gut ?
Wie ändert sich die Situation, wenn die Prämie die Gestalt
À = µi + Ãi
i
oder
À = (µi + ²µi), ² > 0 fest
i
annimmt?
Aufgabe A.11
Sei P die Paretoverteilung Par"(1, a) mit der Dichte
x ’! ax-(a+1), x > 1.
Berechnen Sie die Dichte von P " P .
92 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN UND LÖSUNGEN
Aufgabe A.12
Wieviele Rosinen muß man in 500g Teig tun, damit ein 50g-Brötchen mit Wahrscheinlichkeit
0,99 mindestens eine Rosine enthält?
[ Pobierz całość w formacie PDF ]